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Gödel NuezMoscada
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En la época de principios del siglo XX el ambiente estaba enrarecido en el mundillo matemático; algunas incongruencias en definiciones algo ambiguas se presentaban en forma de contraejemplos en análisis, dimensiones mutantes y paradojas y autorreferencias que amenazaban el universo matemático desde su base. Un amenazante hueco en las matemáticas, como una sonrisa desdentada, se cernía sobre el mundillo matemático. Con este sustrato de inquietud Hilbert empieza a elaborar su famoso programa en 1919, tarea que le llevaría 11 años. En este programa Hilbert plasmó las cuestiones fundamentales que debían ser aclaradas en el siglo que por entonces empezaba su andadura. De Hilbert se decía que cuando acababa con un área de las matemáticas, ésta cobraba la perfección e irrelevancia de una exposición de museo. Pero algunas cuestiones se le escapaban y lanzó un reto al nuevo siglo. Una de esos retos, ya planteado en una conferencia de Hilbert del 1900, era probar la consistencia de la aritmética. La consistencia es un requisito básico que exigirle a un sistema: Se trata de que sea imposible construir dos declaraciones, correctamente deducidas a partir de los axiomas, que resulten contradictorias entre sí. Por el 1910, publicaron Russell y Whitehead sus “Principia Matemática”. Con una claridad y rigor nunca vistos hasta la fecha, dedujeron que 2 + 2 = 4. Tras leer toda esa fundamentación tan exhaustiva nadie podía jamás dudar de que 2 + 2 = 4. Pero la cuestión es…¿alguien dudaba de ello? En verdad que no. Los “Principia” no resolvían la cuestión principal de la consistencia porque ¿de qué servía demostrar la certeza de 2+2=4, si no se podía dar la otra certeza fundamental de que en ningún otro remoto y escondido lugar del pensamiento era posible encontrar una demostración de que 2+2=5? Hasta el 1930 Hilbert se preocupó acerca de cómo presentar la pregunta de la completitud de la aritmética de una forma menos esotérica. Quería encontrar una manera de expresar el problema en otros términos que hicieran el problema abordable. Hizo grandes avances, se preocupó de la simbología de las matemáticas. Por ejemplo, can significa perro, pero no es perro. Quería que las expresiones matemáticas se redujeran a símbolos con un significado claro y preciso, que no hubiera posibilidad de confusión en el lenguaje que habla de las matemáticas, llamémosle metamatemáticas. Según este razonamiento las demostraciones pasaban a ser una cadena entre proposiciones de símbolos. Y Hilbert se preguntaba si esas cadenas ya carentes de significado (demostraciones) finitas en la aritmética podrían dar lugar a teoremas contradictorios. Era un buen comienzo, pero tal vez al equivocar su objetivo, la consistencia de la aritmética, no supo ver el final del túnel. Y entonces, llegó Gödel…
